Kombinatorika – feladatok

Az eredeti: http://fzsmatek.weebly.com/feladatsorok.html

Ismétlés nélküli permutáció

1. Öt diák (A, B, C, D, E) elmegy moziba, és egymás mellé kapnak jegyeket.
   1. Hányféle sorrendben ülhetnek le egymás mellé?
   2. Hányféle sorrendben ülhetnek le egymás mellé, ha A és C mindenképp egymás mellé szeretne ülni?
   3. Hányféle sorrendben ülhetnek le egymás mellé, ha A és C semmiképp sem szeretne egymás mellé ülni?
   4. Az 5 diák mozi után cukrászdába megy, s egy kör alakú asztal köré ülnek. Hányféleképpen foglalhatnak helyet?
2. Matekból, irodalomból, történelemből és informatikából kell házi feladatot készítenem. Hányféle sorrendben tehetem ezt meg?
3. Hat lány és 5 fiú együtt megy el a színházba. A jegyek egymás mellé szólnak.
   1. Hányféleképpen ülhetnek le?
   2. Hányféleképpen foglalhatnak helyet, ha fiú fiú mellé, lány lány mellé nem ülhet?
4. Négy házaspár lép be egy szobába, az ajtón egyszerre legfeljebb egy ember tud belépni.
   1. Hányféle sorrendben juthatnak be a szobába?
   2. Hányféle sorrendben mehetnek be, ha két egymást követő belépő ember csak különböző nemű lehet?
   3. Hányféle sorrendben mehetnek be, ha nő az első, és minden nőt a férje követ?
5. András, Balázs, Csaba, Dénes, Endre és Ferenc egy koncerten egymás mellett foglalnak helyet. András és Ferenc úgy döntenek, hogy egymás mellé ülnek.
   1. Hányféleképp ülhet le a társaság?
   2. Hányféleképp ülhetnek le, ha András és Ferenc semmiképp sem akarnak egymás mellé ülni?
   3. Koncert után beülnek egy étterembe, ahol kör alakú asztalnál vacsoráznak. Hányféleképp foglalhatnak helyet, ha bárki bárki mellé ülhet?
   4. Hányféleképp foglalhatnak helyet, ha András és Ferenc még mindig nem szeretnének egymás mellett ülni?
   5. Hányféleképp ülhetnek le az étteremben, ha András, Balázs és Csaba valamilyen sorrendben egymás mellett akarnak vacsorázni?

Ismétléses permutáció

6. Egy 10 fős társaság 3 tiramisut, 4 dobostortát, 2 gesztenyepürét és 1 somlói galuskát rendel. Hányféleképpen oszthatja ki a felszolgáló az édességeket, ha nem tudja, ki mit rendelt?
7. Hányféle sorrendben írhatók le a MATEMATIKA szó betűi?
8. Hányféle sorrendben írhatók le a MAGYARORSZÁG szó betűi?
9. Jocónak 3 egyforma fekete, 2 egyforma kék, 2 egyforma zöld és egy csíkos nyakkendője van. Hányféleképp viselheti ezeket 8 napon át, ha egy-egy napon egy nyakkendőt használ, és minden nap másikat?
10. Hányféle hatjegyű szám készíthető az 1, 2, 2, 3, 3, 3 számjegyekből?
11. Hányféle kilencjegyű, 5-tel osztható szám készíthető a 0, 2, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6 számjegyekből?

Ismétlés nélküli kombináció

12. Tíz fő futóversenyen vesz részt. Hányféleképpen oszthatják ki az első három helyezettnek járó egyforma oklevelet?
13. Egy 30 fős osztályból hányféleképpen lehet kiválasztani két diákönkormányzati képviselőt?
14. Hányféleképpen lehet kitölteni egy ötös lottószelvényt?
15. Egy 32 lapos magyar kártyából 6 lapot húzunk. Hányféleképpen lehetséges ez?
16. Háromféle gyümölcsből szeretnénk 1-1 kg-ot vásárolni a piacon, ahol a gyümölcsök közül almát, körtét, sárgadinnyét, szilvát és őszibarackot árulnak. Hányféleképp végződhet a vásárlás?
17. Hányféleképpen olvasható ki az alábbi ábrából a MATEMATIKA szó?
    

    M	A	T	E	M	A	T
    A	T	E	M	A	T	I
    T	E	M	A	T	I	K
    E	M	A	T	I	K	A

    Hány lépésre van szükség összesen? Ebből hányszor kell lefelé lépni? Tehát az a kérdés, hogy a 9 lépésből hányféleképpen tudok kiválasztani 3-at. Ezt 9 alatt a 3-szor tudom megtenni, ami 84-gyel egyenlő.

    
    
18. Egy 32 lapos magyar kártyából kihúzunk 5 lapot úgy, hogy pontosan 2 makk legyen benne. Hányféleképpen tudjuk ezt megtenni?

    8 alatt a 2 szorozva 24 alatt a 3-mal = 56.672

    
    
19. Húsz ismerősünk közül tízet szeretnénk buliba hívni. Hányféleképp tehetjük ezt meg?
20. Egy 36 fős osztályból három diákot választunk, akik szerepelnek egy iskolai ünnepségen. Hányféleképp történhet a válogatás?
21. 12-féle fagylaltból 5 különböző ízű gombócot választunk egy fagylaltkehelybe. A gombócok elhelyezkedése a kehelyben közömbös számunkra. Hányféleképp történhet ez?
22. Egy szálláson 2 db 5 ágyas, 1 db 4 ágyas és 1 db 3 ágyas szobában száll meg 17 diák. Hányféleképpen helyezkedhetnek el a szobákban, ha az egy szobában levő férőhelyek között nem teszünk különbséget?

Ismétlés nélküli variáció

23. 8 lányból és 10 fiúból hányféleképpen lehet összeállítani a lehető legtöbb egyszerre táncoló párt?
24. Tíz fő futóversenyen vesz részt. Hányféleképpen oszthatják ki az első három helyezettnek járó arany-, ezüst- és bronzérmet?
25. Hány olyan ötjegyű szám van, amiben minden számjegy különböző?
26. 10-féle sütemény van az asztalon. Négy darab különböző süteményt szeretnénk enni. Hányféleképpen lehetséges ez?
27. Egy iskolai rendezvényen 150 tombolajegyet adnak el. Ezek tulajdonosai között 10 különböző nyereményt sorsolnak ki. Hányféleképp történhet ez?
28. Egy 36 fős osztályban egy könyvet, egy társasjátékot, egy labdát, egy töltőtollat és egy ceruzát sorsolnak ki azzal a feltétellel, hogy minden tanuló csak egy tárgyat kaphat. Hányféleképp végződhet a sorsolás?
29. Nyolcféle fagylaltból három különböző ízűt választunk egy tölcsérbe. Hányféleképp történhet ez?

Ismétléses variáció

30. Az étteremben 5-féle főétel közül választhatunk, bármelyikből nagy mennyiség áll rendelkezésre. Egy 8 főből álló társaság hányféleképpen választhat belőlük egy-egy ételt, ha elvileg minden ételt mindenki szívesen elfogyaszt?
31. Hányféleképpen lehet kitölteni egy 13+1-es totószelvényt?
32. Hány ötjegyű szám van?
33. Hány ötjegyű szám készíthető a 0, 1, 2 számjegyek felhasználásával?
34. Tizenöt tanuló között hányféleképpen lehet kiosztani öt különböző tárgyat, ha egy tanuló több tárgyat is kaphat?
35. Tízféle fagylaltból választunk 4 gombócot egy tölcsérbe, egy féléből többet is választhatunk. Hányféleképp alakulhat a tölcsér tartalma?
36. 1990 előtt két betű – négy szám típusú rendszámuk volt a gépjárműveknek. Hányféle rendszám volt létrehozható, ha a magyar ábécé 26 egyjegyű betűjét és bármilyen számjegyet használhatunk fel?
37. Hányféle három betű – három szám típusú rendszámot lehet létrehozni?

Vegyes feladatok

1. Hányféleképpen olvasható ki az alábbi ábrából a MAGYARORSZÁG szó?
   

   M	A	G	Y	A	R
   A	G	Y	A	R	O
   G	Y	A	R	O	R
   Y	A	R	O	R	S
   A	R	O	R	S	Z
   R	O	R	S	Z	Á
   O	R	S	Z	Á	G

2. Hány különböző olyan rendszám adható ki, amely kettő betűből és az azt követő négy számból áll? (A betűk a latin abc betűi lehetnek csak – 26 db.)
3. Hány olyan hatjegyű szám van, melyben szerepel két azonos számjegy? És hány ilyen 15-jegyű szám van?

   Hatjegyű szám 900.000 van. A csupa különböző számjegyből álló számok száma 9⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5. Tehát 900.000 − 9⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5 szám van, amelyben van kettő azonos számjegy. (Lehet, hogy 3 vagy több azonos szám is van benne, de a feladat ezt megengedi.)
   A 15-jegyű számok esetében mindig van két azonos számjegy. (Lásd skatulyaelv!) Tehát 10¹⁵ − 10¹⁴ ilyen szám van.

   
   
4. Az A,A,B,B,B,C,C,C,C,D betűkből hány 10 betűs „szó” készíthető?
5. Hányféle útvolnalon juthatunk el az A pontból a B pontba, ha csak jobbra, ill. csak lefelé mehetünk?
   

   A	.	.	.	.
   .	.	.	.	.
   .	.	.	.	.
   .	.	.	.	B

6. A gimnázium egyik 9. osztályában a három tagú szülői munkaközösség (SzM) tagjait szeretnék megválasztani. Hányféleképpen lehet megválasztani az SzM tagjait, ha az osztályba 28 tanuló jár?

   28 alatt a 3 = 3276